05wk: 측도론 (1)

강의영상

youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-xOLs7lnyb8ZjM3KB-N2u7I

언젠가 필요할까?

- 이론: \(|x|<\epsilon, ~\forall \epsilon>0 ~\Leftrightarrow x=0\)

(증명)

“\(\Leftarrow\)” 자명함.

“\(\Rightarrow\)”

SUPPOSE: |x| > 0$ – 귀류법

CHOOSE: \(\epsilon=\frac{1}{2}|x|\)

\(\Rightarrow\) \(0<\frac{1}{2}|x|<|x|\)

\(\Rightarrow\) 모순

- 이론: \(|x| < \frac{1}{n},~ \forall n \in \mathbb{N} ~ \Leftrightarrow ~x=0\)

(증명)

“\(\Leftarrow\)” 자명함.

“\(\Rightarrow\)”

SUPPOSE: \(|x| > 0\) – 귀류법

CHOOSE: \(\epsilon=\frac{1}{2}|x|\)

\(\Rightarrow\) \(0<\epsilon<|x|\)

\(\Rightarrow\) \(\exists n: ~0<\frac{1}{n}<\epsilon<|x|\) (\(\because\) 아르키메데스의 성질)

\(\Rightarrow\) 모순

수학과의 표현

수학과의 기호

- 아래는 기호는 몇 가지 영어단어의 축약형이다.

• for all: \(\forall\)
• exists: \(\exists\)
• such that, satisfying: \({\sf s.t.}\), \({\sf st}\)
• if-then, implies, therefore: \(\Rightarrow\)
• if and only if: \(\Leftrightarrow\)
• because: \(\because\)
• therefore: \(\therefore\)
• quod erat: \(\square\), \(\blacksquare\)

- 예시1: 모든 실수 \(x\)에 대하여, \(x^2\)은 양수이다.

언어

• for any \(x\) in \(\mathbb{R}\), \(x^2 \geq 0\).
• for arbitrary \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \geq 0\).
• for any choice of \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \geq 0\).
• for all \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \geq 0\).
• if \(x \in \mathbb{R}\), then \(x^2 \geq 0\).

기호

• \(\forall x \in \mathbb{R}\): \(x^2\geq 0\).
• \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(x^2\geq 0\).
• \(x^2 \geq 0\), for all \(x \in \mathbb{R}\).
• \(x^2 \geq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
• \(x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 \geq 0\).

거의 쓰는 사람 마음임, 그런데 뉘앙스가 조금씩 다름.

- 예시2: \(\Omega\)의 임의의 부분집합 \(A\),\(B\)에 대하여, \(A=B\) 일 필요충분조건은 \(A\subset B\) 이고 \(B \subset A\) 이어야 한다.

언어

• for all \(A,B \subset \Omega\), \(A=B\) if and only if (1) \(A \subset B\) and (2) \(B \subset A\).

기호

• \(A = B \Leftrightarrow A \subset B \text{ and } B \subset A, \forall A,B \in \Omega\).
• \(A = B \Leftrightarrow \big(A \subset B \text{ and } B \subset A\big), \forall A,B \in \Omega\).
• \(\forall A,B \subset \Omega\): \(A = B \Leftrightarrow \big(A \subset B \text{ and } B \subset A\big)\)

의미가 때로는 모호할때가 있지만 눈치껏 알아먹어야 한다.

- 예시3: 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(|x| \leq \epsilon\)이라면 \(x=0\)일 수 밖에 없다.

언어

• If \(|x|< \epsilon\) for all \(\epsilon>0\), then \(x=0\).
• If \(|x|< \epsilon\), \(\forall \epsilon>0\), then \(x=0\).
• For all \(\epsilon>0\), \(|x|< \epsilon\) implies \(x=0\). – 틀린표현

기호

• \(|x| < \epsilon,~ \forall \epsilon>0 \Rightarrow x=0\)
• \(\forall \epsilon>0: |x| < \epsilon \Rightarrow x=0\) – 애매하다?
• \(\big(\forall \epsilon>0:|x| < \epsilon\big) \Rightarrow x=0\)
• \(\big(\forall \epsilon>0\big)\big(|x| < \epsilon \Rightarrow x=0\big)\) – 틀린표현

기타 약어 및 상투적인 표현

- 약어

• \({\sf WLOG}\): Without Loss Of Generality
• \({\sf WTS}\): What/Want To Show
• \({\sf iff}\): if and only if
• \({\sf Q.E.D.}\): 증명완료 (쓰지마..)
• \({\sf LHS}\): Left Hand Side
• \({\sf RHS}\): Right Hand Side

- 상투적인 표현

• It suffices to show that, It is sufficient to show that

Classes of sets

Before

- 아래의 기호를 약속

• 전체집합: \(\Omega\)
• 관심있는 집합의 모임: \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)

- \(\Omega \neq \emptyset\), \({\cal A} \neq \emptyset\) 를 가정.

- 약속: 집합 \({\cal A} \subset 2^{\Omega}\)에 대하여 아래와 같은 용어를 약속하자.

• \(\cap\)-closed (closed under intersection) or a \(\pi\)-system: \(\forall A,B \in {\cal A}:~ A \cap B \in {\cal A}\)
• \(\sigma\)-\(\cap\)-closed (closed under countable interserction): \(\forall \{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset {\cal A}:~ \cap_{i=1}^{\infty} A_i \in {\cal A}\)
• \(\cup\)-closed (closed under unions): \(\forall A,B \in {\cal A}:~ A\cup B \in {\cal A}\)
• \(\sigma\)-\(\cup\)-closed (closed under countable unois): \(\forall \{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset {\cal A}:~ \cup_{i=1}^{\infty}A_i \in {\cal A}\)
• ＼-closed (closed under differences): \(\forall A,B \in {\cal A}:~ A-B \in {\cal A}\)
• \(^c\)-closed (closed under complements): \(\forall A \in {\cal A}:~ A^c \in {\cal A}\)

- 우리만의 약속:

• 앞으로 서로소인 집합들에 대한 합집합은 기호로 \(\uplus\)라고 표현하겠다.
• 따라서 앞으로 \(B_1 \uplus B_2\)의 의미는 (1) \(B_1 \cup B_2\) (2) \(B_1 \cap B_2 = \emptyset\) 을 의미한다고 정의하겠다. (꼭 서로소임을 명시하지 않아도)
• \(\sigma\)-\(\uplus\)-closed 의 의미는 \(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i \in {\cal A}, \forall \{B_i\}_{i=1}^{\infty} \subset {\cal A}:\) 의 의미이다.

- 이론: \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\) 가 여집합에 닫혀있다면, 아래가 성립한다.

• \({\cal A}\)가 교집합¹에 닫혀있음. \(\Leftrightarrow\) \({\cal A}\)가 합집합²에 닫혀있음.
• \({\cal A}\)가 가산교집합³에 닫혀있음. \(\Leftrightarrow\) \({\cal A}\)가 가산합집합⁴에 닫혀있음.

¹ finite

² finite

³ countable infinite

⁴ countable infite

(증명) 생략

- 이론: \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 차집합에 닫혀있다면, 아래가 성립한다.

• \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다.
• \({\cal A}\)가 가산합집합에 닫혀있다. \(\Rightarrow\) \({\cal A}\)가 가산교집합에 닫혀있다.
• \(\forall \{A_i\} \subset {\cal A},~ \exists \{B_i\} \subset {\cal A}\) such that \(\cup_{i=1}^{\infty} A_i = \uplus_{i=1}^{\infty} B_i\).⁵

⁵ 이건 차집합에 반쯤 닫혀있어도 성립함

(증명)

• Note: \(A\cap B = A-(A-B)\).
• Note: \(\cap_{i=1}^{\infty}A_i = \cap_{i=2}^{n}(A_1\cap A_i)= \cap_{i=2}^{n}(A_1 - (A_1-A_i))=A_1 - \cup_{i=2}^{n}(A_1-A_i)\).
• Note: \(\cup_{i=1}^{\infty}A_i = A_1 \uplus(A_2-A_1) \uplus \big((A_3-A_1) - A_2 \big) \uplus \big(\big((A_4-A_1)-A_2\big)-A_3\big)\uplus \cdots\)

차집합에 닫혀있다는 것은 매우 좋은 성질임.

시그마필드 (\(\star\star\star\))

- 정의: 시그마필드 (\(\sigma\)-field, \(\sigma\)-algebra)

집합 \({\cal F} \subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal F}\)를 \(\Omega\)에 대한 시그마필드라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal F}\).
2. \({\cal F}\)는 여집합에 닫혀있다.
3. \({\cal F}\)는 가산합집합에 닫혀있다.

- 시그마필드의 정의에서 1을 생략하기도 한다. 이럴 경우는 특별히 \({\cal F}\neq\emptyset\)임을 강조한다. 1을 생략할 수 있는 논리는 아래와 같다.

• \({\cal F}\)는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 집합 \(A\)는 포함해야 한다. 즉 \(A \in {\cal F}\).
• 2번 원리에 의하여 \(A^c \in {\cal F}\).
• 시그마필드는 합집합에 닫혀있으므로 \(A\cup A^c \in {\cal F}\).

알지브라, 필드 (\(\star\))

- 정의1: 알지브라, 필드 (algebra, field)

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 대수라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 차집합에 닫혀있다.
3. \({\cal A}\)는 합집합에 닫혀있다.

- 알지브라 역시 1의 조건을 생략하기도 한다.

- 전체집합을 포함 \(\Rightarrow\) (차집합에 닫혀있음 \(\Rightarrow\) 여집합에 닫혀있음) \(\Rightarrow\) 따라서 대수는 여집합에 닫혀있다.

- 차집합에 닫혀있음 \(\Rightarrow\) 교집합에 닫혀있게 된다.

• 혹은 (여집합에 닫혀있음 & 합집합에 닫혀있음) \(\Rightarrow\) 교집합에 닫혀있음.

- 정의2: 알지브라의 또 다른 정의

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 대수라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다.
3. \({\cal A}\)는 여집합에 닫혀있다.

- 여집합에 닫혀있음 \(\Rightarrow\) (합집합에 닫혀있음 \(\Leftrightarrow\) 교집합에 닫혀있음) \(\Rightarrow\) 2번 조건을 합집합으로 바꿔도 무방

- 정의3: 알지브라의 또 또 다른 정의 (교재의 정의)

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 대수라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 여집합에 닫혀있다.
3. \({\cal A}\)는 합집합에 닫혀있다.

- 알지브라의 예시

• \(\Omega = \{H,T\}\), \({\cal A} = 2^\Omega\) 일때, \({\cal A}\)는 알지브라이다. (\(|\Omega| <\infty\) 이라면 “시그마필드 = 알지브라(필드)” 이다.)

링

- 정의: 링 (ring)

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 링이라고 부른다.

1. \(\emptyset \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 차집합에 닫혀있다.
3. \({\cal A}\)는 합집합에 닫혀있다.

- 여기에서 1의 조건을 생략할 수 있다. (이럴경우 특별히 \({\cal A}\neq \emptyset\) 임을 강조한다.)

• \({\cal A}\)는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 원소 \(A\)는 가져야 한다.
  
• 조건2에 의하여 \(A-A\) 역시 \({\cal A}\)의 원소이다.

- 링은 차집합에 닫혀있음 \(\Rightarrow\) 링은 교집합에도 닫혀있음 \(\Rightarrow\) 링은 교집합과 합집합 모두에 닫혀 있다.

- 링과 알지브라의 차이는 전체집합이 포함되느냐 마느냐임 \(\Rightarrow\) 그런데 이 차이로 인해 알지브라는 여집합에 닫혀있지만 링은 여집합에 닫혀있지 않게 된다.

시그마링

- 정의: 시그마링 (\(\sigma\)-ring)

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 링이라고 부른다.

1. \(\emptyset \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 차집합에 닫혀있다.
3. \({\cal A}\)는 가산합집합에 닫혀있다.

- 여기에서 1의 조건을 생략할 수 있다.

세미알지브라 (\(\star\star\star\))

- 정의1: 세미알지브라 (semi-algebra) // ref : 위키북스

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미알지브라 라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다.
3. \(\forall A,B \in {\cal A}, \exists \{B_i\}_{i=1}^{n} \subset {\cal A}\) such that \[A-B = \uplus_{i=1}^{n} B_i.\]

3번을 \({\cal A}\)가 차집합에 반쯤 닫혀있다고 표현한다. 즉 차집합 자체가 \({\cal A}\)에 들어가는건 아니지만 차집합의 disjoint한 조각들은 모두 \({\cal A}\)에 들어간다.

- 세미알지브라는 공집합을 포함한다. (이때 \({\cal A}\neq \emptyset\)임을 강조함)

• \({\cal A}\)는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 집합 \(A\)는 포함해야 한다. 즉 \(A \in {\cal A}\).
• \(A \in {\cal A}\)이면 조건3에 의하여 \(\emptyset\)⁶을 \({\cal A}\)의 원소들의 countable union으로 만들 수 있어야 한다. 이 조건을 만족하기 위해서는 \(\emptyset \in {\cal A}\)이어야만 한다.

⁶ \(A-A\)

- 정의2: 세미알지브라의 또 다른 정의 // ref: 세미링의 위키에서 언급, Durret의 정의.

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미알지브라 라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\)
2. \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다.
3. \(\forall A \in {\cal A}, \exists \{B_i\}_{i=1}^{n} \subset {\cal A}\) such that \[A^c = \uplus_{i=1}^{n} B_i.\]

3번을 \({\cal A}\)가 여집합에 반쯤 닫혀있다고 표현한다. 즉 여집합 자체가 \({\cal A}\)에 들어가는건 아니지만 차집합의 disjoint한 조각들은 모두 \({\cal A}\)에 들어간다.

- 이 정의에서도 세미알지브라는 공집합을 포함한다. (이때 \({\cal A}\neq \emptyset\)임을 강조함)

• \({\cal A}\)는 공집합이 아니므로 최소한 하나의 집합 \(A\)는 포함해야 한다. 즉 \(A \in {\cal A}\).
• 3에 의하여 \(A^c=\uplus_{i=1}^{n}B_i\)를 만족하는 \(B_1,\dots, B_n\) 역시 \({\cal A}\)에 포함되어야 한다.
• 2에 의하여 \(A \cap B_1=\emptyset\) 역시 \({\cal A}\)에 포함되어야 한다.

- Note: 정의2의 3번조건은 정의1의 3번조건보다 강한 조건이다. (정의2의 조건3 \(\Rightarrow\) 정의1의 조건3)

• 증명은 세미링/위키 에서 스스로 확인

- 교재의 정의: 정의2에서 \(\Omega \in {\cal A}\)이 생략되어 있음.

• 왜 생략할 수 있는지 모르겠음. (교재가 틀렸을 수도 있음)

- 세미알지브라의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega\)에 대한 세미알지브라이다.

• 예시1: \(\Omega=\{a,b,c,d\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b,c,d\}, \Omega \}\)
• 예시2: \(\Omega=\{a,b,c,d\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c,d\}, \Omega \}\)
• 예시3: \(\Omega=\{a,b,c,d\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b,c\},\{d\}, \Omega \}\)
• 예시4: \(\Omega=\{a,b,c,d\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{d\}, \Omega \}\)
• 예시5: \(\Omega=\{a,b,c,d\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{d\}, \{a,b\},\{b,c\},\Omega \}\)

세미알지브라는 전체집합이 몇개의 파티션으로 쪼개져서 원소로 들어가는 느낌이 있음.

- 세미알지브라의 예시\((\star)\): 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미알지브라이다.

• 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty \leq a < b \leq \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
• 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty \leq a < b \leq \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

- 세미알지브라가 아닌 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미알지브라가 아니다.

• 예시1: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty \leq a < b \leq \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
• 예시2: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty \leq a < b \leq \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

- 교재의 언급 (p3)

그림1: 교재에서의 세미알지브라 설명

세미링 \((\star\star\star)\)

- 정의: 세미링

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 세미링이라고 부른다.

1. \(\emptyset \in {\cal A}\).
2. \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다.
3. \({\cal A}\)는 차집합에 반쯤 닫혀있다.

- 세미링에서도 공집합포함 조건을 생략할 수 있다.

- 세미링의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega\)에 대한 세미링이다.

• 예시1: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b,c,d\}\}\)
• 예시2: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c,d\}\}\)
• 예시3: \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\), \({\cal A} = \{\emptyset,\{a,b,c\},\{b,c,d\}, \{a\},\{b,c\},\{d\}\}\)

전체집합이 포함될 필요가 없는 세미알지브라 느낌임.

- 세미링의 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미링이다.

• 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
• 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

- 세미링이 아닌 예시: 아래의 \({\cal A}\)는 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 세미링이 아니다.

• 예시1: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)
• 예시2: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\cup \{\emptyset\}\)

파이시스템 (\(\star\star\))

- 정의: \(\pi\)-system

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 파이스시템 이라고 부른다.

1. \({\cal A}\)는 교집합에 닫혀있다.

- 파이시스템임을 강조하기 위해서 \({\cal A}\) 대신에 \({\cal P}\) 라고 교재에서 표현하기도 한다.

- 파이시스템의 예시: 아래는 모두 \(\Omega=\mathbb{R}\)에 대한 파이시스템이다.

• 예시1: \({\cal A} = \{(a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\)
• 예시2: \({\cal A} = \{[a,b): -\infty < a < b < \infty \}\)
• 예시3: \({\cal A} = \{(a,b): -\infty < a < b < \infty \}\)
• 예시4: \({\cal A} = \{[a,b]: -\infty < a < b < \infty \}\)

람다시스템 (\(\star\star\))

- 정의1: \(\lambda\)-system

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 람다시스템 이라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\)
2. \(\forall A,B \in {\cal A}:~ A\subset B \Rightarrow B-A \in {\cal A}\)
3. \(\forall B_1,B_2,\dots \in {\cal A}\) such that \(B_1,B_2\dots\) are disjoint: \[\uplus_{i=1}^{\infty} B_i \in {\cal A}\]

람다시스템은 1. 전체집합이 포함되고 2. 두 집합이 포함관계에 있는 경우 차집합에 닫혀있으며 3. 서로소인 가산합집합에 닫혀있다.

- 람다시스템은 여집합에 닫혀있다. 그리고 람다시스템은 공집합을 포함한다.

- 람다시스템의 느낌: 3주차 시그마필의 motivation에서 소개한 거의 모든 예제는 사실 람다시스템이다.

• 람다시스템의 원칙1,2,3은 사실 확률의 공리와 깊게 관련되어있음.
• 내 생각: 딘킨은 확률의 공리에 착안해서 람다시스템을 만들지 않았을까?

- 아래는 모두 람다시스템의 예시이다.

• \(\Omega=\{H,T\}\), \({\cal L}=\{\emptyset, \{H\},\{T\},\Omega\}\) – 3주차 예제1
• \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \({\cal L}=2^\Omega\) – 3주차 예제4
• \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \({\cal L}=\{\emptyset,\{6\},\{1,2,3,4,5\},\Omega\}\) – 3주차 예제5
• \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \({\cal L}=\{\emptyset,\{1,2,3\},\{3,4,5\},\Omega\}\) – 3주차 예제6
• \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \({\cal L}=\{\emptyset,\Omega\}\) – 3주차 예제8
• \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \({\cal L}=\{\emptyset,\{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}, \{3,4\}, \{1,2\},\Omega\}\) – 3주차 예제9,10
• \(\Omega=(0,2\pi]\), \({\cal L}=\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\{x\}: x\in \mathbb{Q} \cap \Omega \}\) – 3주차 예제11
• \(\Omega=\{1,2,3,4\}\), \({\cal L}=\{\emptyset, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \Omega\}\) – 3주차 예제12에서 교집합 안넣은 버전

- 정의2: \(\lambda\)-system (교재의 정의)

집합 \({\cal A}\subset 2^{\Omega}\)가 아래의 조건을 만족하면 \({\cal A}\)를 \(\Omega\)에 대한 람다시스템 이라고 부른다.

1. \(\Omega \in {\cal A}\)
2. \(\forall A,B \in {\cal A}:~ A\subset B \Rightarrow B-A \in {\cal A}\)
3. \(\forall A_1,A_2,\dots \in {\cal A}\) such that \(A_1 \subset A_2 \subset \dots\): \[\cup_{i=1}^{\infty} A_i \in {\cal A}\]

- Note: 정의1의 3번조건과 정의2의 3번조건은 서로 동치관계이다.

- 교재에서의 파이시스템, 람다시스템 설명

그림2: 교재에서의 파이시스템과 람다시스템

위의 정의에서 기호 \(A_n \uparrow A\)의 의미는 “\(A_1 \subset A_2 \subset \dots\) and \(\cup_{i}^{\infty}A_i=A\)”를 뜻하는 축약표현이다.

정리

- 정리표 (hw): 물음표를 채워라

	\(A \cap B\)	\(\emptyset\)	\(A-B\)	\(\cup_iA_i \to \uplus_i B_i\)	\(\Omega\)	\(A^c\)	\(A\cup B\)	\(\cup_{i=1}^{\infty}A_i\)	\(\uplus_{i=1}^{\infty}B_i\)	\(\cap_{i=1}^{\infty}A_i\)
\(\pi\)-system	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)
semi-ring	\(O\)	\(O\)	\(\Delta\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)
semi-algebra	\(O\)	\(O\)	\(\Delta\)	\(O\)	\(O\)	\(\Delta\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)
ring	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)
algebra	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)
\(\sigma\)-ring	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)
\(\lambda\)-system	\(X\)	\(O\)	\(\Delta\)’	\(X\)	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(O\)	\(X\)
\(\sigma\)-field	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)

- 다이어그램 (포함관계)

- 다이어그램 (이해용) – 그림은 더럽지만..